symmetry

マーカス・デュ・ソートイ 対称性の秘密

「素粒子のスピンから美しいアラベスクまで、世界には対称性があふれています」ソートイは語りかける。ここでは、70万ビューを超える Marcus du Sautoy のTED講演を訳し、すべての対称性に共通する秘密について理解する。

要約

素粒子のスピンから美しいアラベスクまで、世界に溢れる対称性。しかし目に見えるものが全てではありません。 オックスフォードの数学者マーカス・デュ・ソートイが、全ての対称性に共通する見えない数学を語ります。

Oxford’s newest science ambassador Marcus du Sautoy is also author of The Times’ Sexy Maths column. He’ll take you footballing with prime numbers, whopping symmetry groups, higher dimensions and other brow-furrowers.

 

1 「20歳で死ぬには相当の勇気がいる」

1832年5月30日 一発の銃声が パリ13区に響きました (銃声) 朝市に来ていた農民が 銃声のした方へ行くと 青年がもがき苦しんでいました。決闘で撃たれたのです。撃たれた青年の名はエヴァリスト・ガロア 当時は良く知られたパリの革命家でした。ガロアは地元の病院で 弟アルフレッドに看取られ亡くなりました。弟へ残した最後の言葉はこうです 「アルフレッド 泣かないでくれ。20歳で死ぬには 相当の勇気がいるのだから」現代 ガロアが有名なのは 革命活動ではありません。その数年前 まだ学生のときに 彼は当時の数学の最大の謎のひとつを 解明したのです。この理論を説明した論文を パリ科学アカデミーに提出しましたが アカデミーのメンバーは 書かれた内容が理解できませんでした (笑) これが彼が数学を記述する流儀でした。

 

2 自然界の言語「対称性」

決闘の前夜に これが最後のチャンスだと思い 彼の偉大な業績を書き残そうとしました。一晩中起きて書き続け 彼のアイディアを 残そうとしました。そして夜が明けて 彼は運命の時を迎えたのです。机の上には 紙の山が残されていました。もしかしたら 徹夜して数学をしていたのが 決闘で負けてしまった理由かも知れません。彼が書き残した書類には 科学の根底にある概念を理解するための 新しい言語が記されていました。その概念とは 対称性です。対称性は 自然界の言語とも言えます。非常に多岐にわたる科学的なことを 理解する助けとなります。たとえば分子構造では どんな結晶構造がありえるのか 対称性の数学を通して理解できます。

 

3 対称性は遺伝情報の伝達に役立つ言語

微生物学では 対称的な物体は 大抵やっかいなものです。豚インフルエンザのウイルスは 対称性が効率的であることを利用して 高い感染力をもっています。より大きなスケールの生物学では 遺伝子情報の伝達が 対称性によって実現されています。二枚の写真と それを左右対称に加工したものがあります。どちらが美しいと感じるでしょうか。おそらく 下の二枚でしょう 対称を作るのは困難なので あなたの体が左右対称ならば よい遺伝子を持ち 健康に育った 良い結婚相手だという証になります。つまり対称性は 遺伝情報の伝達に役立つ 言語なのです。

 

4 身の回りの科学的な世界を理解するのに数学は強力な武器

CERNの大型ハドロン衝突型加速器の中で 何が起きているのかを説明するにも役に立ちます。あるいは 何が起きていないのかを… 見つかるかもしれない素粒子を 予測する助けにもなります。素粒子は全て高次元空間にある対称形の 色々な「断面」である可能性があります。身の回りの科学的な世界を理解するのに 数学がどれほど強力なのか ガリレオがうまく表現しています 「宇宙という壮大な書物は それを記述している言葉を学び その文字に親しまなければ解読できない。それは数学という言葉で書かれていて その文字は三角、円、その他の幾何学的図形であり それらを知らなければ 一言も理解できない」

 

5 芸術家は対称性を暗示してそれをわざと壊したがる

しかし 対称性に興味を持つのは科学者だけではありません。芸術家も対称性を愛しています。彼らは すこし違った視点を持っています。小説「魔の山」の中でトーマス・マンは 雪の結晶について登場人物にこう語らせています 「ぞっとするほどの完璧さで 死の核心に思えた」しかし 芸術家は対称性を暗示して それをわざと壊したがるものです。日本を訪れたときに 研究仲間の黒川教授のところへ行ったとき とても良い例に出会いました。彼は日光東照宮へ連れて行ってくれました これは階段を登ったすぐの場所で撮った写真で 背後に門が見えます。門には美しい対称形の柱が8本あります。そのうち7本はまったく同じですが 一本だけが上下逆になっています。

 

6  皇居を建てるときにすら常に1カ所未完成の場所を残す

「これをつくった建築家は こいつを間違えて逆さまにしたって気付いた時に しまった! と思っただろうねぇ」と私が言うと 教授は「いやいや、これはわざとなんだよ」と答えました。そして 日本の古典「徒然草」からの 素敵な一節を教えてくれたのです 「何でも全部が 完全に整っているのはよくない。やり残したことを そのままにしておくのが面白く 先に楽しみを残すことにもなる」 皇居を建てるときにすら 常に一箇所 未完成の場所を残します

 

7 アルハンブラ宮殿は対称性の極致

でも私がもし建物をひとつ選んで その中で一生を暮らすならば 「対称性中毒」の私なら アルハンブラ宮殿を選びます。この宮殿は対称性の極致です。私はよく家族と 数学オタク的な旅行をするのですが これは私の息子 タマーです 「数学的」な旅行をとても楽しんでいるようですね。しかし もっと息子に見せたいものがありました。学校の数学の授業では 現実の世界にどう数学が関わっているのか 教えてくれません。ですから アルハンブラ宮殿の対称性を 私は息子に見せたかったのです。

 

8 水に映し出された対称性

宮殿に入ってすぐにわかるのは 水に映し出された対称性です。でも 特にすばらしいのはここの壁です。ムーア人の芸術家たちは 偶像を描くことを 禁止されていました。ですから彼らは幾何的な芸術を追求しました。では 対称性とは何でしょう?アルハンブラに行くと次々と質問が頭に浮かびます。対称性とは何か?2つの模様の対称性が 同じだと言えるのはどんな時か? ムーア人は 可能な対称性の型を全て アハンブラ宮殿に残したのでしょうか。

 

9 ガロアにとっての対称性は動き

ガロアは まさにこの疑問に答えるための 言語を作り出したのです。トーマス・マンにとって対称とは 死であり 静止したものでしたが ガロアにとって対称性は動きでした。対称的な図形を動かして 元の状態と同じに見えるようにするには 何ができるでしょう。手品の動きに例えて説明しましょう。みなさんが目を閉じている間に こっそりと動かして もとの場所に戻すと 最初の状態と同じに見えるのはどんな動かし方でしょう?たとえばアルハンブラの壁のタイルなら 黄色の点の位置を軸にして 90°回転すると 完全にもとの模様と一致します。閉じていた目を開けても動かされたと気付きません。しかし この動きこそがアルハンブラ宮殿の対称性を 特徴付けるのです。同時に対称性を記述する言語にも繋がります。数学は あるものを別のものに変換することで 力を発揮します。ここでは「幾何学」を「言語」に変換します。

 

10 どんなものにも「そのまま動かさない」という対称性がある

ここから 数学的に少し踏み込んだお話をしましょう。心の準備はいいですか?少し踏み込んで この言語がどうやって 対称とは何かを捉えるか説明しましょう。ふたつの対称的な図形があるとしましょう。少しねじれた ヒトデ型の図形です。どう動かすと 元と同じに見えるでしょうか。そう 1/6回転させれば 元と同じように見えます。1/3回転でもいいですし 半回転でも もしくは2/3回転でもいいですし 5番目の対称性として 5/6回転でも良いでしょう。対称図形を動かして元と同じに見えるようにするために このような操作をすることができます。

実はガロアにとって 6番目の対称性がありました。図形が元と同じに見えるようになる 操作方法は他にあるでしょうか? 突起が少しひねれているので 裏返しにはできません。反射(鏡映)対称性はないのです。でも 動かさないでおくことはできます。持ち上げて そのまま戻す。ガロアにとっては これがゼロ番目の対称性でした。実際 ゼロという概念の発明はつい最近で 紀元前7世紀のインド人によるものです。「何もない」ということを数えるのも変ですが このゼロ番目の対称性も同じアイデアなのです。どんなものにも「そのまま動かさない」という対称性があります

この図形の場合は6種類の対称性があります。三角形の場合はどうでしょう。時計周りに1/3回転させるか 反時計周りに1/3回転させられます。今度は反射(鏡映)対称なので Xを通る線を軸に反転させるか Yを通る線か Zを通る線でも 5種類の対称性と それに加えて 「そのまま」の ゼロ番目の対称性があります。2つの図形は両方とも6つの対称性があります。数学はスポーツ観戦とは違って 理解するためには 実際に計算をするべきです。

 

11 ルービックキューブには 対称性はいくつあるか?

そこで簡単な質問をしましょう。そして この講演の最後に 正解に一番近かった人には 賞をあげます。ルービックキューブです。ルービックキューブには 対称性はいくつあるでしょう?この様に動かして キューブの形を保つ操作はいくつあるでしょう。いいですか? これからしばらくの間 いくつ対称性があるか 考えてみてください。そして 正解に最も近かった人に賞を差し上げます。

それではまた 先程の2つの図形の話に戻りましょう。物体の対称性を特徴付けるのは 物体の持つ ひとつひとつの対称型ではなく それらの関連性だと ガロアは気付きました。もし複数の種類の操作を続けて行えば この組み合わせは別の操作に相当します。これこそが ガロアが作り出した この物体の対称性にひそむ 抽象的なアイデアを理解するための 言語だったのです。例えば ヒトデ型を まず1/6回転させ 次に1/3回転したら どうなるでしょう?

説明のために 回転操作に名前を付ましょう。A, B, C, D, E, Fです。例えば B は 黄色の点が 図形のbの点に合うよう回転させます。B つまり1/6回転の次に C つまり1/3回転したら どうなりますか? やってみましょう。まず 1/6回転 続けて1/3回転 これらを足し合わせると 半回転になります。この表に記録されるのは これらの対称性の計算の結果です。1つ目の操作をして続けて2番目の操作をすると 結果はDの回転 つまり1/2回転です。ではもし この順番を変えたら違いはあるでしょうか。まず1/3回転させて 次に1/6回転させます。当然 同じ結果になります。つまり1/2回転します。

 

12 対称性の相互関係を知る

この操作の組み合わせにも対称性が見られます。三角形の場合は まったく違います。二種類の対称的操作を続けて行うと 三角形がどうなるか見てみましょう。反時計回りに1/3回転してから Xを通る線で鏡像反転させます。組み合わせた結果はZを通る軸で鏡像反転させた場合と 同じです。今度は違う順番にしてみましょう。X軸での反転を先に行って それから反時計回りに1/3回転させます。結果は まったく違ったものになります。これはYを通る線で反転させたのと同じです。

この場合は 順番が問題になるのです。この2つの図形は両方とも 6つの対称性を持っていましたが 同じ対称性を持っていると 言えるのでしょうか?対称性の相互関係を知ることで 実は根本的に違う対称性だということが 言えるようになったのです。ビールのコースターを使って簡単に自分でも試せます。コースターを90°回転させて反転させます。それから今度は逆の順序で同じことをすると 絵柄が最初と上下逆になります。

 

13 6つ対称性を持つ図形は2種類だけ

ガロアはこの表のような対称性の相互関係について法則を生み出しました。それはまるで数独の枡目のように 同じ対称操作は縦・横の各列に ひとつしか現れません。そして この法則を使うことで 実は6つ対称性を持つ図形は 2種類だけだと結論付けたのです。例の三角形と同等の対称性を持つものか あのヒトデと同等の対称性を持つものです。実に素晴しい成果です。対称性を「数」の様に考える概念の発明だと言えます。この会場の前の列に 1、2、3人の人が 1、2、3つの椅子に座っています。椅子と人間とは全く違いますが その数 つまり数という抽象的な概念では同一です。

 

14 辺の中点で回転させても元の図形に重なる

アルハンブラの壁のタイル模様でも同じ事がわかります。ここにあるのは2つの壁の まったく違う模様です。しかしガロアの言語を使うと これらの根底にある抽象的な対称性は 同じだと分かります。たとえば この少しねじれた三角形の 模様をご覧ください。色を無視することにすると 1/6回転させることができます。1/6回転させると 色は揃いませんが この中央の点を軸に すべての三角形が重なります。三角形の中心を軸にしたらどうでしょう。1/3回転させれば 元の図形に重なります。それから 辺の中間にも興味深い場所があります。180°回転させると タイルが重なります。つまり辺の中点で回転させても元の図形に重なるのです。

 

15 見えないものを作り出せるのが数学の力のすばらしい例

今度は まったく違う模様の壁を見てみましょう。同じ対称性と 同じ相関関係を見付けられます。1/6回転でも 1/3でもZ字型の部分が重なります。六芒星の中央で半回転させることもできます。これらの壁の模様はまったく違って見えますが ガロアの発明した言語を使えば 根底にある対称性は 完全に同一だと言えるのです。この例は6-3-2の対称性と呼ばれています。これは アルハンブラ宮殿のまた別の図形です。壁、天井、そして床の模様です。まったく違うように見えますが ガロアの言語によれば 対象性では同等な抽象的モチーフの異なる表現型なのです。この型は 1/4回転できる位置が二カ所 そして半回転できる位置が一カ所あるので 4-4-2 と呼ばれています。

このガロアの言語は 更に強力です 「ムーア人の芸術家は あり得る全ての対称性を見付けだしたのか?」 という質問をしたり その質問に 「ほぼ全て見付けた」と答えられるのです。ガロアの言語を使うことで アルハンブラ宮殿の壁では 全部で17の異なる対称性が存在可能であり もしも18番目の模様を考え出したとしても それは必ず 先程の17の模様のどれかと同じ対称性になってしまう と分かるのです。さらにこのガロアの言語を使うと 見たこともない世界の 対称的な図形を作り出すこともできます。二次元、三次元を越えて 四次元、五次元、そして無限の次元空間までも それが私の研究対象です。高次元空間に 数学的な物体 対称的な物体を ガロアの言語を使って 作り出しているのです。見えないものを作り出せる それが数学の力のすばらしい例だと思います。

 

16 数学的な物体は永遠のもの

そこで私も ガロアのように昨晩徹夜して 皆さんのために新しい数学的な対称的物体を作ってみました。これがその図です。そう 図とは言えませんね。そのボードを持ってきてくれる? 残念ながら この対称的物体の図を お見せすることは不可能です。しかし ここにある言語でどんな対称的性質があるか 記述してあります。さて この新しい対称的物体には まだ名前がついていません。月のクレータや 動物の新種に 自分の名前をつけるのが好きな 人々がいますよね。ですから みなさんの名前を新しい対称的物体につける チャンスをさし上げましょう。生物の種は絶滅しますし クレータは別の隕石の衝突で消滅しますが この数学的な物体は永遠のものです。あなたを永遠不滅にする力を持っています。この対称的物体を勝ち取るために みなさんには 私が冒頭でお聞きした質問に答えていただきたい。ルービックキューブには対称性がいくつあるでしょうか?

 

17 ルービックキューブの対称性の数は25桁

ためしてみましょう。みなさんにそれぞれ答えてもらう代わりに 思った数が何桁か数えてください。もし答えを数の階乗で考えているなら展開しておいてください。では このゲームに参加したい方は 桁の数の見当がついたら 立ち上がっていただけますか?1人目の参加者がこちらにいます。他に誰もいなければ 彼が勝者になりますよ。よし 4人目…5、6人参加です。すばらしい。そろそろ始められますね。

5桁よりも小さな数を考えた方は座ってください。見積もりが少なすぎです。5桁以下_つまり 10000以下の方は座ってください。60桁よりも大きい方も座ってください。大きすぎです 20桁より下のみなさんもハズレです。あなたの考えた数字は何桁? 2桁? では もっと前に座らないと (笑) 他のみなさんも確認しましょう。20桁と言った時に座ったみなさん立ってください。いま座った方は立ってください。こっちにも何人かいましたよね? いま座ったみなさんですよ。ではあなたが考えた数字は何桁ですか? (笑) 21ですね。いいでしょうあなたは? 18_そうすると こちらのご婦人の答え 21桁が一番近い数字です。実際の答え ルービックキューブの対称性の数は 25桁です それでは この物体に命名しましょう。あなたのお名前は? 苗字を教えてもらえますか?通常このような命名では… 綴りは? G-H-E-Z 残念。SO2は既に別の数学的言語で使われてるので その名前を使うことはできません。さあGhezさん あなたの新しい対称的物体をどうぞ。これで あなたは永遠不滅になりました (拍手)

 

18 答えが見つかっていない疑問が数学を生き生きとした学問にする

もしみなさんも対称的物体を欲しければ グァテマラへの教育援助プロジェクトをやっていますので グァテマラの子どもたちへの募金をしていただければ 私が徹夜して新しい対称的物体を作ってさし上げましょう。数学者としての私を駆り立てるのは このような見たこともない まだ発見されてないものです。答えが見つかっていない疑問が数学を生き生きとした学問にするのです。そしていつも「徒然草」の一節を思い出します 「何でも全部が完全に整っているのはよくない。やり残したことを そのままにしておくのが面白く 先に楽しみを残すことにもなる」以上 ありがとうございました (拍手)

最後に

対称性は遺伝情報の伝達に役立つ自然界の言語。芸術家は対称性を暗示してそれをわざと壊したがる。どんなものにも「そのまま動かさない」という対称性がある。6つ対称性を持つ図形は2種類だけ。ルービックキューブの対称性の数は25桁。見えないものを作り出せるのが数学の力のすばらしい例。数学的な物体は永遠のもの。答えが見つかっていない疑問が数学を生き生きとした学問にする

和訳してくださった Ryoichi KATO 氏、レビューしてくださった Akiko Hicks 氏に感謝する(1999年7月)。

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